Fuzzy: una logica polivalente

 

Sono molteplici le strade della vita che ci guidano verso la conoscenza e non sempre esse sono rappresentate da una linea retta e ben definita. Fra queste, la teoria della Logica Fuzzy può aiutarci a meglio comprendere alcune modalità non usuali al pensiero matematico-scientifico-tecnologico che si muove ancora sulla scia dello scientismo positivista.

Breve introduzione matematica

Tutti gli elementi costituenti la maggior parte delle categorie della vita quotidiana (sentimenti, emozioni, giudizi, valori, qualità, etc.) non possono essere definiti in maniera univoca, esatta. Proviamo ad esempio a definire un evento che provochi un forte dolore: una martellata sul dito? La perdita di una persona cara? Un’estrazione dentaria? È evidente che la risposta può variare in modo anche molto consistente in base alla soggettività dell’individuo, all’ambiente, alle condizioni al contorno e al contesto generale. Questo perché il “Forte Dolore” è un insieme Fuzzy (o insieme sfocato) che chiameremo FD, caratterizzato da una funzione di “grado di appartenenza“, che mappa gli elementi di un universo in un intervallo reale continuo fra 0 e 1. In termini pratici, l’insieme Fuzzy FD tiene conto di tutti gli elementi (fisici e non) che possano provocare dolore, assegnando a ciascuno di essi (su base individuale) un parametro variabile tra 0 e 1 chiamato “grado di appartenenza“. Il valore 0 (zero) indica che l’elemento non è per niente incluso nell’insieme sfocato, il valore 1 (uno) indica che l’elemento è certamente incluso nell’insieme, mentre i valori tra zero e uno indicano il grado di appartenenza dell’elemento all’insieme FD in questione.

Nella teoria classica degli insiemi, l’appartenenza degli elementi viene valutata in termini binari secondo una condizione bivalente – un elemento o appartiene o non appartiene al gruppo. Al contrario, la teoria degli insiemi fuzzy permette la valutazione graduale dell’appartenenza di elementi all’insieme stesso, secondo regole stabilite in funzione del contesto. La teoria degli insiemi fuzzy costituisce un’estensione della teoria classica degli insiemi poiché per essa non valgono i principi aristotelici di non-contraddizione e del terzo escluso (“tertium non datur“).

Teorizzata nel 1965 da Lofti Zadeh (matematico/ingegnere dell’Università della California di Berkeley), in verità la logica Fuzzy trae le basi da concetti molto antichi risalenti alla teoria degli insiemi sfocati, già intuita da Platone, Cartesio, Bertrand Russell, Albert Einstein, Friedrich Nietzsche, Jan Łukasiewicz e Max Black. Fu proprio il matematico polacco Łukasiewicz a parlare per primo di logica polivalente, per poi considerare lo spettro tra verità e falsità come un continuum tra 0 e 1, rinunciando alla dicotomia binaria. La teorizzazione di Zadeh fu inizialmente accolta con freddezza e avversità dalla comunità scientifica occidentale, che non riuscì a percepirne l’immediato valore a causa di un prevalente atteggiamento di concreto riduzionismo.

Esiste una nota frase di Einstein (pubblicata in Geometry and Experience, 1921) la quale è stata spesso presa a riferimento dagli studiosi di logica Fuzzy: “Nella misura in cui le leggi della matematica si riferiscono alla realtà, esse non sono certe. E nella misura in cui sono certe, non si riferiscono alla realtà.”

 

Fuzzy, probabilità e meccanica quantistica

Il concetto di probabilità in matematica è un altro argomento a natura bivalente. Esso ci informa con quale probabilità un evento accade o meno. Sì o no, senza alcuna possibilità di scelta intermedia. La logica fuzzy invece introduce un insolito (per la matematica) concetto di vaghezza o incertezza delle cose. Gli insiemi si sovrappongono sfumando, i confini diventano sempre più labili precisamente laddove si pensava che un elemento cessasse di essere quell’elemento. Ciascuno con il proprio grado di appartenenza, gli oggetti contemporaneamente appartengono e non appartengono a un determinato insieme. Il valore assegnato a un grado di appartenenza di un evento in un insieme fuzzy, non rappresenta la sua probabilità di accadere o di verificarsi, ma indica la misura di un vago fatto deterministico.

Un esempio potrà meglio chiarire. Dire che, per un certo soggetto, un albero di 7 metri è “alto al 65%” indica il fatto che per il 65% l’albero appartiene all’insieme “AA=Alberi Alti” e per il 35% all’insieme “AB=Alberi Bassi”. L’insieme, cioè, è fuzzy in quanto non è possibile definire deterministicamente il valore soggettivo di un albero alto o basso.

Altri esempi comuni di insiemi fuzzy possono essere: “terre lontane”, “temperature medie”, “mele dolci”, e così via.

Una delle differenze più evidenti tra la logica fuzzy e la teoria della probabilità risiede nel fatto che mentre quest’ultima si occupa di “popolazioni” di elementi e comportamento medio degli stessi a lungo termine, la logica fuzzy si concentra invece nel descrivere il singolo individuo: l’individuo “fuzzy”.

Nel 1927 Werner Heisenberg enunciò il suo Principio di Indeterminazione dimostrando che nella meccanica quantistica alcune cose non possono essere mai conosciute, ovvero sono inconoscibili in linea di principio, rendendo scientifico il dubbio. All’epoca di queste grandi rivoluzioni della fisica, la matematica offriva agli scienziati la Teoria della Probabilità e questa sembrò subito il metodo migliore per descrivere simbolicamente il comportamento della natura particellare. Tuttavia, pur non alterando nulla delle magnifiche conclusioni della meccanica quantistica, la sua descrizione potrebbe essere rivalutata dal punto di vista della logica Fuzzy. In tal senso, il principio di Indeterminazione, invece che asserire che non possiamo osservare contemporaneamente posizione e traiettoria (velocità) di una particella con certezza assoluta, potrebbe asserire che i due parametri invece possono entrambi essere osservati con certezza, ma con differenti gradi di “esattezza”.

Analizziamo ad esempio il noto paradosso:

Ecco due affermazioni. Una delle due è falsa.
Quale?

Con un approccio tradizionale, otterremo che la prima affermazione, evidentemente, è vera. Quindi quella falsa è la seconda. Ma se è falsa, allora è falso che “una delle due è falsa“, perciò essa deve essere vera. Ma se la seconda è vera, allora la seconda deve essere quella falsa! La logica aristotelica si dimostra incapace di stabilire se queste proposizioni siano vere o false. Essa è strutturalmente incapace di dare una risposta proprio in quanto bivalente, cioè proprio perché ammette due soli valori di verità: vero o falso, bianco o nero, tutto o niente.

Applicando un ragionamento fuzzy sviluppato da Bart Kosko (uno dei più brillanti allievi di Zadeh), possiamo invece caratterizzare qual è il grado appartenenza della seconda affermazione all’insieme Vero. In questo caso, il valore di verità coincide con quello della sua negazione (la frase può essere tanto vera quanto falsa), richiamando alla mente il concetto di coincidentia oppositorum di Niccolò Cusano (1401-1464). Dopo qualche breve passaggio matematico si ottiene v=0.5. Risulta, cioè, che l’enunciato del paradosso non è né vero né falso, ma è semplicemente una mezza verità o, in maniera equivalente, una mezza falsità. Le due possibili conclusioni del paradosso si presentano nella forma contraddittoria A e non-A, la quale inficia completamente il ragionamento dicotomico. Per la logica fuzzy invece, ciò non sussiste in quanto la frase è vera e falsa contemporaneamente, con il 50% di esattezza.

Oltre il formalismo logico

La breve introduzione concettuale matematica che precede, seppur senza addentrarsi nella sintassi simbolica delle operazioni sulla Logica Fuzzy, ne ha probabilmente comunque tracciato gli aspetti fondamentali. Questa nuova logica si sovrappone alla precedente, sostituendo i vecchi concetti di congiunzione e disgiunzione con altri nuovi, pur mantenendo un nucleo di significatività con i precedenti.

Il riflesso di questo nuovo percorso descrittivo ha consentito la realizzazione di apparecchiature tecnologiche che adattano le proprie caratteristiche a quelle del soggetto utilizzatore in settori in cui gli elementi di valutazione qualitativi non consentivano un accurato impiego della logica binaria: Hitachi, Nissan e Honda (dispositivi per l’industria automobilistica), Toshiba (controlli di sistemi di elevazione), Matsushita (condizionamento di ambienti), Canon (fotografia e ripresa), Samsung e LG (lavatrici), Omron (controllori fuzzy). Dall’elenco dei maggiori produttori si denota subito che la logica Fuzzy, in campo industriale, ha avuto un’immediata applicazione da parte di innumerevoli società orientali, sebbene la stessa sia stata teorizzata e sviluppata negli Stati Uniti.

Questo probabilmente perché nell’ambito della scienza occidentale è prevalsa la modalità dell’approccio governato dalla dicotomia Aristotelica, che rende più difficile la comprensione di una logica che non preveda risultati esatti e che rimuove, sfumandoli, i confini di appartenenza tra gli insiemi. La cultura orientale, invece, si è dimostrata più pronta ad accogliere il nuovo percorso più flessibile in quanto da sempre (dalla religione vedica, attraverso l’induismo, il buddhismo e lo zen) è abituata a far breccia nelle logiche bivalenti con una visione più unitaria della Natura.

Tuttavia la Logica Fuzzy assume un aspetto ancor più interessante quando se ne applicano le teorie a situazioni diverse da quelle prettamente tecnologiche.

Secondo Susan Haack (Deviant Logic, Fuzzy Logic: Beyond The Formalism, 1992), un concetto Fuzzy è un concetto i cui confini di applicazione possono variare considerevolmente a seconda del contesto e delle condizioni, senza essere fissato una volta per tutte. Ciò vale a dire che in qualche modo il concetto è vago, senza tuttavia essere privo di senso.

Ma è proprio questa vaghezza a essere uno degli elementi più caratteristici della vita umana, della Natura, dell’Universo, del Tutto. La realtà è un sistema aperto e complesso, laddove ciascun fotogramma è uguale solo a se stesso, in un continuo fluire di inaspettate connessioni e intrecci che possono essere colti solo con un adeguato approccio di apertura.

Ogni giorno siamo sottoposti a scelte di tipo on/off, sì/no, dentro/fuori e può sembrare talvolta così impossibile uscire da questa logica secolare che inavvertitamente essa viene applicata anche su domini non prettamente tecnologici. Eppure la mente umana sa ricercare anche altre vie (ben conosciute dal pensiero di Platone e di una lunga schiera di filosofi, umanisti, teologi da Agostino, Cusano, fino a Jung) ed è in grado di muoversi contemporaneamente su prospettive diverse e percorrere strade ben più complesse della semplice logica riduzionista. Di fronte a una scelta che sembra imporre solo due stringenti condizioni mutuamente escludenti, esiste sempre un altro punto di vista (o livello di realtà) in cui le condizioni possono essere entrambe diversamente comprese.

In altri termini, il nostro cervello è già in grado di cogliere perfettamente la natura “fuzzy” delle cose alle quali assegna autonomamente il proprio “grado di appartenenza”, che varia di conseguenza secondo il contesto, il momento e le informazioni in nostro possesso.

Questa modalità di approccio del pensiero umano viene definita complessità dal filosofo Edgar Morin (in contrapposizione alla semplificazione introdotta dal riduzionismo) e indica la capacità di cogliere intuizioni “di più parti collegate fra loro e dipendenti l’una dall’altra”, esattamente come è la realtà, la natura, la società, l’ambiente che ci circonda.

La Logica Fuzzy, pertanto, è quella che appare più delle altre saper cogliere questa particolare caratteristica dell’uomo: integrare e considerare come parte della visione tutti i contesti, le interconnessioni, le interrelazioni fra le diverse realtà. Un nuovo approccio di logica matematica che, anziché costringere il pensiero umano al ragionamento binario della tecnologia, tenta di introdurre nella tecnologia stessa alcuni elementi di “vaghezza” tipici della vastità analogica del nostro pensiero. Il percorso è ancora lungo e arduo per riuscire a sviluppare le molteplici, vaste e ancora inesplorate potenzialità della mente umana, tuttavia questa può rappresentare una prima strada propedeutica verso un reincantamento del mondo secondo quanto auspicato da Max Weber nei primi anni del secolo scorso.